Función escalonada

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo abierto (c_k, c_k+1) es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

Características

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Ejemplo

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

{\begin{array}{rrcl}s:&[-1,5]\subseteq \mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\to &y=s(x)\end{array}}

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

s(x)=\left\{{\begin{array}{rcr}1&{\mbox{si}}&-1\leq x<1\\-1&{\mbox{si}}&1\leq x<2\\3&{\mbox{si}}&2\leq x<4\\2&{\mbox{si}}&4\leq x\leq 5\end{array}}\right.

Graficas:

https://www.geogebra.org/m/ZNvyeKw6

https://www.geogebra.org/m/D4WKdA3Y

Funciones de valor absoluto

Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .

La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como

Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas parejas ordenadas .

Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos.

Observe que la gráfica es de la forma V.

(1) El vértice de la gráfica es (0, 0).

(2) El eje de simetria ( x = 0 o eje de las y ) es la recta que divide la gráfica en dos mitades congruentes.

(3) El dominio es el conjunto de todos los números reales.

4) El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0.

(5) La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0.

Cambio Vertical

Para trasladar la función valor absoluto f ( x ) = | x | verticalmente, puede utilizar la función

g ( x ) = f ( x ) + k .

Donde k > 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades hacia arriba.

Donde k < 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades hacia abajo.

Cambio Horizontal

Para trasladar la función valor absoluto f ( x ) = | x | horizontalmente, puede utilizar la función

g ( x ) = f ( x + k ).

Donde k > 0, la gráfica de g ( x ) se traslada k unidades a la izquierda.

Donde k < 0, la gráfica de g ( x ) translated k unidades a la derecha.

Graficas

https://www.geogebra.org/m/eVxvpXDX

https://www.geogebra.org/m/dmzbhJRY

FUNCIÓN IDENTIDAD

Función Identidad

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

EJEMPLOS

La función $f(x)=x \,$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en $\mathbb{R}_p^2$ (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación $r=\theta$ : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en $\left \{ 0,1\right \}$ es la doble negación, expresada por $\not \neg x$

Graficas

https://www.geogebra.org/m/BycQbrH6

https://www.geogebra.org/m/Q4fYxbxM

Función constante

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

Funciones reales de una variable real

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: